PENGUKURAN DAN KESALAHAN DALAM PENGUKURAN

PENGUKURAN DAN KESALAHAN DALAM PENGUKURAN

I. PENGUKURAN

Pengukuran memberikan arti penting bagi manusia untuk menggambarkan berbagai fenomena alam dalam bentuk kuantitatif atau angka. Lord Kelvin menyatakan : “Bila anda dapat mengukur apa yang anda bicarakan serta menyatakannya dalam bentuk angka, maka anda mengerti apa yang anda bicarakan. Tetapi bila anda tidak dapat mengukurnya dan tidak dapat menyatakannya dalam bentuk angka, maka

pengetahuan anda tidak memuaskan atau mengecewakan”. Dalam pengukuran dibutuhkan instrumen sebagai suatu cara fisis untuk menentukan suatu besaran (kuantitas) atau variabel. Instumen tersebut membantu kemampuan manusia dan memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai dari sesuatu yang tidak diketahuinya.

Dalam pengukuran digunakan sejumlah istilah yang didefinisikan sebagai berikut:

- Ketelitian (accuracy) : Kemampuan dari alat ukur untuk memberikan nilai pendekatan terhadap harga sebenarnya dari obyek yang diukur.

- Ketepatan (precision): Kedekatan nilai-nilai pengukuran individual yang didistribusikan sekitar nilai rata-ratanya atau penyebaran nilai pengukuran individual dari nilai rata-ratanya.

Alat ukur yang mempunyai presisi yang bagus tidak menjamin

bahwa alat ukur tersebut mempunyai akurasi yang bagus.

a. Presisi dan akurasi tinggi;     b. Presisi rendah, akurasi tinggi;

c. Presisi tinggi, akurasi rendah;    d. Presisi dan akurasi rendah

- Repeatabilitas (repeatability): Kemampuan alat ukur untuk menunjukkan hasil yang sama dari proses pengukuran yang dilakukan berulang-ulang dan identik.

- Kesalahan ( error ): Beda aljabar antara nilai ukuran yang terbaca dengan nilai

“sebenarnya “ dari obyek yang diukur.

- Resolusi (resolution): Besar pernyataan dari kemampuan peralatan untuk membedakan arti dari dua tanda harga atau skala yang paling berdekatan dari

besaran yang ditunjukkan.

- Kalibrasi (calibration): Serangkaian kegiatan untuk menentukan kebenaran konvensional penunjukan alat ukur atau menujukkan nilai yang diabadikan bahan ukur dengan cara membadingkannya dengan standar ukur yang tertelusuri ke standar nasional dan/atau international.

- Koreksi ( correction ): Suatu harga yang ditambahkan secara aljabar pada hasil dari alat ukur untuk mengkompensasi penambahan kesalahan sistematik.

- Ketertelusuran ( traceability ): Terkaitnya hasil pengukuran pada standar nasional/internasional melalui peralatan ukur yang kinerjanya diketahui, standar-standar yang dimiliki laboratorium tempat pengukuran dilakukan dan kemampuan personil lab. tersebut.

- Kehandalan ( reliability ): Kesanggupan alat ukur untuk melaksanakan fungsi yang disyratkan untuk suatu periode yang ditetapkan

- Rentang ukur (range): Besar daerah ukur antara batas ukur bawah dan batas ukur atas

- Jangkauan (span): Beda modulus antara dua batas rentang nominal dari alat ukur.

II. KETIDAKPASTIAN PADA PENGUKURAN

Hasil-hasil yang diperoleh dalam percobaan fisika di laboratorium tidak dapat diterima begitu saja, sebab hasil percobaan tersebut harus dipertanggungjawabkan keberhasilan dan kebenarannya. Karena kemampuan manusia terbatas dan ketelitian alat yang digunakan memiliki batas kemampuan tertentu maka pelaporan hasil-hasil pengukuran harus disertai dengan nilai toleransinya.  Hasil pengukuran baru dapat dinyatakan benar jika harga besaran yang diukur dilengkapi dengan batas-batas penyimpangan dari hasil pengukuran tersebut. Toleransi atau batas penyimpangan tersebut dikenal dengan istilah ketidakpastian.  Nilai ketidakpastian bermanfaat dalam mengetahui tingkat  keberhasilan dalam melakukan percobaan. Jika nilai ketidakpastian terlalu besar ada kemungkinan percobaan salah, jika terjadi hal demikian maka percobaan harus diulang kembali dengan berbagai cara, misalnya mengulang pengukuran beberapa kali dengan lebih teliti atau mengganti alat-alat percobaan dengan alat yang lebih tinggi batas ketelitiannya (lebih akurat).

Jelaslah bahwa suatu percobaan dapat diterima dengan wajar apabila hasil pengukuran disajikan dengan menyertakan nilai ketidakpastiannya. Meskipun hasil percobaan tidak tepat sama dengan teori yang melatar belakanginya, jika hasil percobaan masih terletak dalam interval x ±Δx (Δx adalah ketidakpastian yang disebabkan keterbatasan alat, keterbatasan waktu, keterbatasan kemampuan manusia dan lain-lain) maka percobaan yang kita lakukan dapat diterima dan dapat dipertanggungjawabkan.

Untuk memperoleh nilai pengukuran yang mendekati nilai sebenarnya, pengukuran haruslah dilakukan berulang-ulang. Setiap pengulangan pengukuran biasanya tidak menghasilkan nilai yang sama dengan pengukuran sebelumnya. Perbedaan nilai pengukuran ini disebut kesalahan. Kesalahan dalam suatu percobaan dapat dibagi dua  golongan, yaitu:

2.1 Kesalahan Sistem

Kesalahan sistem bersumber pada alat pengukur/alat praktikum, sehingga seringkali dinamakan kesalahan konstan. Kesalahan sistem dapat terjadi karena:

1. Kesalahan kalibrasi. Cara memberi nilai skala pada saat pembuatan alat tidak tepat, sehingga setiap kali alat digunakan ada suatu ketidakpastian pada hasil pengukurannya. Kesalahan ini dapat diketahui dengan cara membandingkan alat yang salah tersebut dengan alat baku.

2. Kesalahan titik nol. Artinya jarum penunjuk skala tidak tepat berada di titik nol alat ukur.

3. Kelelahan komponen alat ukur. Kesalahan ini misalnya terjadi pada pegas. Pegas yang sering dipakai lama-kelamaan akan melembek sehingga dapat mempengaruhi gerak jarum penunjuk skala.

4. Kondisi lingkungan kerja. Lingkungan kerja seperti suhu, tekanan, kelembaban dan perubahan tegangan listrik berpengaruh terhadap ketepatan pengukuran.

2.2 Kesalahan Pengamat

1. Kesalahan paralak. Kesalahan ini timbul apabila saat membaca skala posisi pengamat tidak tegak lurus dengan jarum penunjuk skala.

2. Kesalahan penafsiran. Kesalahan ini terjadi karena salah tafsir terhadap bagian skala alat ukur. Pada peralatan yang rumit operasinya, pengamat harus memahami cara penggunaan alat dengan baik sebelum melakukan percobaan sehingga tidak terjadi kesalahan pengukuran.

III. PERHITUNGAN KESALAHAN

3.1 Ketidakpastian Pada Pengukuran Tunggal

Apabila pengukuran dilakukan hanya satu kali, ketidakpastian pengukuran adalah setengah kali nilai skala terkecil alat ukur (1/2 nst).

Contoh:

Mistar dengan nst 1 mm kita gunakan untuk mengukur tebal balok. Hasil pengukuran sebesar 5 cm, maka hasil pengukuran yang harus kita laporkan adalah:

                        x = (50 ± 0,5) mm  atau   x = (5,0 ± 0,05) cm

Apakah yang tersirat dari cara penulisan ini?

1. Pengamat menduga bahwa balok yang diukurnya memiliki tebal antara 49,5 mm sampai 50,5 mm.

2. Tersirat tentang tingkat presisi skala alat. Mistar yang dipakai hanya mampu membaca sampai 1 angka desimal saja.

3.2 Ketidakpastian Pada Pengukuran Berulang

Untuk memperoleh nilai pengukuran yang mendekati nilai sebenarnya, pengukuran haruslah dilakukan berulang-ulang. Misalkan pengukuran dilakukan sebanyak n kali, diperoleh hasil x₁, x₂, x₃, ..... x_n. Untuk mendapatkan nilai terbaik dari pengukuran dilakukan dengan cara merata-ratakan hasil pengukuran tersebut, yaitu:

                                   

Ketidakpastian dari  yaitu Δx disebut standar deviasi rata-rata sampel, dihitung menggunakan rumus:

               (Baird, 1962 h.64 dan Beers, 1967 h.30)

Contoh:

Pada 10 kali pengukuran diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut:

X = 10,0;  10,2;  10,2;  10,0;  9,8;  10,0;  9,8;  10,3;  9,7 dan  10,0

Nilai hasil pengukuran harus kita laporkan dalam bentuk

 

I	xi
1	10,0	0
2	10,2	0,04
3	10,2	0,04
4	10,0	0
5	9,8	0,04
6	10,0	0
7	9,8	0,04
8	10,3	0,09
9	9,7	0,09
10	10,0	0
	Σ = 100,0	=0,42

Maka nilai terbaik adalah: x = (10,00 ± 0,07)

IV. ANGKA BERARTI

Telah kita ketahui bahwa cara melaporkan hasil pengukuran harus dalam bentuk

x ± Δx. Misalkan tujuh  kali  pengukuran menghasilkan nlai rata-rata      berapa angka desimal yang harus dilaporkan? Cara pelaporan tergantung pada ketelitian dalam pengukuran, yakni pada ketidakpastian Δx. Jika dari hasil perhitungan kita peroleh Δx sebesar 0,01, maka  harus dilaporkan dengan dua angka desimal juga.

Sekarang coba perhatikan x = 3,1 dan x = 3,10. Kedua nilai tsb memiliki arti yang tidak sama, nilai x = 3,1 berarti angka 3 diketahui dengan tepat tetapi angka 1 diragukan. Nilai x = 3,10 memiliki arti bahwa selain angka 3, angka 1 juga diketahui dengan tepat sedangkan angka 0 diragukan. Pengukuran dengan hasil 3,10 lebih teliti daripada 3,1. Dapatlah kita simpulkan bahwa semakin banyak angka berarti yang disertakan dalam pelaporan berarti semakin teliti pengukuran itu telah dilakukan.

Seringkali ketelitian pengukuran dinyatakan dengan %, misalnya , artinya x = 3,14285... dan Δx = 0,0314285.. dengan demikian x dilaporkan sebagai x = (3,14 ± 0,03). Jika ketelitian meningkat, misalnya 1‰, maka x dilaporkan sebagai x = (3,142 ± 0,003). Sebaliknya dengan ketelitian hanya 10%, maka x = (3,1 ± 0,3). Dari uraian di atas dapat kita simpulkan aturan praktis berikut:

-      ketelitian 10% memberi hak atas dua angka berarti

-      ketelitian 1% memberi hak atas tiga angka berarti

-      ketelitian 1‰ memberi hak atas empat angka berarti

Latihan:

Pada 10 kali pengukuran diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut:

X = 8,54; 8,54; 8,55; 8,56, 8,57; 8,57; 8,57; 8,58; 8,58; 8,59

Laporkanlah hasil pengukuran dalam bentuk

V. KETIDAKPASTIAN PADA FUNGSI VARIABEL

Dalam percobaan fisika seringkali besaran yang ingin kita ketahui bukan berupa besaran pokok.  Besaran itu merupakan fungsi dari besaran-besaran lain yang dapat diukur. Contohnya adalah ketika kita ingin menentukan rapat massa (ρ) sebuah benda, maka yang kita ukur adalah massa (m) dan volume (V) benda tsb. Karena m dan V masing-masing memiliki nilai ketidakpastian yaitu Δm dan ΔV, maka ρ juga memiliki nilai ketidakpastian. Persoalannya adalah bagaimana menentukan Δρ? Dalam menentukan ketidakpastian semacam ini, ada tiga kasus yang berbeda yaitu:

-      Δm dan ΔV keduanya berupa nilai skala terkecil alat ukur

-      Δm dan ΔV keduanya berupa standar deviasi

-      Salah satu berupa nilai skala terkecil alat ukur, yang lain berupa standar deviasi

Ketiga kasus tsb akan diuraikan pada bagian berikut dan agar pernyataan ketidakpastian menjadi umum maka Δm, ΔV dan Δρ masing-masing kita nyatakan sebagai Δx, Δy dan Δz.

5.1 Δx dan Δy keduanya berupa nilai skala terkecil alat ukur

Jika x = (x ± Δx) dan y = (y ± Δy), maka z = (x ± Δx , y ± Δy)

z = (x ± Δx , y ± Δy) kita uraikan dalam deret Taylor, diperoleh:

Rumus di atas dapat diperluas mencakup lebih dari dua variabel :

Berikut ini diberikan beberapa fungsi yang sering kita jumpai dalam percobaan fisika berikut diferensialnya:

                        

Contoh:

1.   Ukuran sebuah balok kayu adalah: P = (4,0  ± 0,05) cm, L =  (3,0  ± 0,05) cm dan

      T =  (2,0  ± 0,05) cm. Menurut pengukuran ini, akan kita tentukan volume balok berikut ketidakpastiannya.

     

     

Karena ketelitian mencapai 5%, yang berarti memiliki hak atas 2 angka berarti, maka kita laporkan  V = (24,0 ± 1,2)cm³

       

2. Percepatan gravitasi di sebuah tempat hendak ditentukan melalui percobaan bandul matematik. Persamaan perioda bandul adalah    . Panjang bandul diukur memakai penggaris dihasilkan L = (100 ± 0,1) cm dan perioda bandul  T = (2,0 ± 0,05) detik maka g berikut ketidakpastiannya dihitung sbb:

     

      Mengingat ketelitian percobaan sebesar 5% maka kita laporkan

      g = (9,9 ± 0,5) x 10² cm/s²

      Kalau  g  ingin diketahui dengan ketelitian yang lebih tinggi, T harus diukur dengan stopwatch yang lebih teliti atau melakukan pengukuran berulang.

5.2 Δx dan Δy keduanya berupa simpangan baku

Setiap pasangan xi dan yi menghasilkan nilai zi. Dalam ilmu statistik dapat dibuktikan apabila x dan y memenuhi sebaran Gauss, maka demikian pulalah z, karena itu nilai terbaik z adalah nilai rata-rata nya. Demikian pula ketidakpastian nilai z, berupa simpangan baku rata-rata sampel:

Mengingat maka

Untuk n besar karena masing-masing  bebas satu sama lain maka berpeluang sama besar bertanda negatif atau positif. Jadi

Berikut ini beberapa contoh fungsi dua variabel:

Contoh:

Percepatan gravitasi di sebuah tempat hendak ditentukan melalui percobaan bandul matematik. Duapuluh kali pengukuran perioda bandul menghasilkan rata-rata T = 2,00 dan simpangan baku rata-rata 0,02 detik, sedangkan sepuluh kali pengukuran panjang tali bandul menghasilkan L = 100,00 cm dengan simpangan baku rata-rata 0,04 cm. Akan kita hitung, berapa g dan Δ g .

Mengingat ketelitian percobaan sebesar 2% maka kita laporkan

      g = (9,9 ± 0,2) x 10² cm/s²

VI. MEMBUAT GRAFIK

Dari percobaan kita memperoleh titik-titik data x_i ± Δx_i dan titik-titik y_i ± Δy_i  yang diperoleh melalui perhitungan, bukan pengukuran langsung. Ketika kita plot titik-titk data tersebut pada kertas grafik maka ketidakpastiannya harus kita sertakan pula. Perlu diingat bahwa ketidakpastian pada kertas grafik tidak boleh lebih atau kuarang dari nilai ketidakpastian yang telah kita hitung, agar ketelitian yang sudah kita hitung dengan susah payah tidak hilang “tenggelam” dalam ketidakpastian grafik. Sebagai ilustrasi, kita ambil kertas milimeter grafik yang mempunyai jarak antara dua garis terdekat sebesar 1mm, maka Δx grafik = 0,5mm. Jika ukuran kertas grafik 10 x 10cm, ketelitian terbaik yang dapat dicapai adalah (0,5/100)x100% = 0,5%. Dengan demikian ketidakpastian hasil perhitungan dengan ketelitian 0,1 % tidak dapat diplot pada kertas grafik 10x10 cm, artinya harus menggunakan kertas grafik yang ukurannya lebih luas misalnya 50x50 cm. Perhatikan contoh berikutnya, jika pada sumbu x yang panjangnya 10 cm kita gunakan untuk memplot nilai maksimum 100 Volt, maka ketidakpastian mutlak yang terkecil yang dapat digambar adalah (0,5/100)mm x 100 = 0,5 Volt. Jadi untuk Δx<0,5 Volt kita  harus mengecilkan nilai satuan skala dengan kata lain kertas yang digunakan harus diperluas.

Jelaslah bahwa memilih besar kertas grafik memerlukan perencanaan yang baik. Selain itu sebuah garis grafik yang kita buat harus tampak penuh (mengisi seluruh luas kertas grafik) dengan cara memilih nilai skala mendatar maupun tegak dengan tepat.

Hal lain yang harus diperhatikan dan diingat dalam membuat grafik antara lain:

-      Judul grafik, ditulis pada bagian atas grafik

-      Besaran pada sumbu mendatar maupun tegak harus ditulis lengkap dengan satuannya

-      Pilih harga satuan skala sumbu-sumbu grafik dengan bilangan bulat atau kelipatan puluhan, misalnya 1,2,3,... atau 5,10,15,... atau 10,20,30,...

-      Perkirakan bentuk grafik yang akan buat apakah fungsi linier (garis lurus) ataukan fungsi kuadrat (garis lengkung). Jika fungsi dari grafik yang akan buat berbentuk y=f(x), sebaiknya besaran pengubah f(x) diplotkan pada sumbu mendatar, sedangkan besaran yang diubah pada sumbu tegak